◎ 수학 데이터 분석법 (Mathematical Data Analysis) - 기본과 사용법
WizStudio v3.4에는 측정한 데이터를 분석하는 다음과 같은 분석법들이 있다.
<데이터 분석법>
사용자는 WizStudio에서 데이터 Load 한 후 각 분석법을 우측 상단에서 더블 클릭하여 사용할 수 있다.
<분석법 목록>
이 데이터 분석법 중에 수학 분석법들에 대해 알아보자. a. Min Max 사용자는 불러온 데이터의 최소값과 최대값을 최소 최대 분석법을 이용해 찾을 수 있다. 우측 하단에서 MinMax Calculate 버튼을 누르면, 좌측 상단 그래프에 빨간 점으로 최소점과 최대점이 표시되고, 우측 하단에 결과가 출력된다. Point는 데이터의 인덱스를 나타내고, X값과 Y 값이 표시된다.
b. Subtract Data 사용자가 같은 양의 두 개의 데이터를 불러오면, Subtract Data는 각각 인덱스에 대해 첫번째 데이터 X_input_1에서 두번째 데이터 X_input_2를 빼준다. c. Derivative 입력 데이터의 미분 값이 다음 식을 통해 구해진다.
위의 f’(x)는 테일러 급수를 이용해 확장된 형태이다.
불러온 데이터의 미분 값을 미분 분석법을 이용해서 찾을 수 있다. 우측 하단에서 Derivative Calculate 버튼을 누르면, 좌측 상단 그래프에 미분이 적용된 그래프가 그려지고, 우측 하단에 미분 값 결과가 출력된다. 버튼을 n번 누르면 n차 미분 값이 표 우측으로 추가되고, Reset 버튼으로 처음 불러온 데이터로 돌아갈 수 있다.
d. Integrate N개인 입력 데이터의 적분 값은 사다리꼴 공식으로 구해진다.
우측 상단에서 Integrate를 더블 클릭하면 그래프에 두 개의 선이 생기는데, 두 선을 이용해 적분 범위를 지정한다. 우측 하단에서 Integrate Calculate 버튼을 누르면, 좌측 상단 그래프에 적분이 적용된 그래프가 그려지고, 우측 하단에 적분 값 결과가 출력된다. 버튼을 n번 누르면 n차 적분 값이 표에 나타나고, Reset 버튼으로 처음 불러온 데이터로 돌아갈 수 있다. 우측 하단에 구해지는 Area는 적분 값이고, |Area|는 그래프 상에서 기하학적인 넓이를 의미한다.
e. Regression e.1. Linear Regression 선형 회귀는 최소 제곱법을 이용해서 선형 방정식 y=ax+b의 기울기와 y절편 값들을 찾는다. 최소 제곱법은 점들과 선형 방정식 y = ax+b 사이의 수직 선분들을 한 변으로 하는 사각형들의 넓이 합의 최소를 찾는 방법을 의미한다. 최소 제곱법에 대한 그림 Least Square Method과 선형 회귀 예시 Linear Fit 예시 참고.
Least Square Method
Linear Fit 예시
e.2. Polynomial Regression 다항 회귀는 회귀의 한 종류로서 변수 x와 y사이의 관계를 x에 대한 n차다항 함수로 모델링을 한다. 이 회귀법은 최소 n+1개의 점을 필요로 한다. Polynomial Fit with Order 2 참고.
m을 선택된 점의 개수, n차 다항 함수의 식을
이라고 정의한다. 또한, 벡터
로 정의하고 m x n 행렬 M의 정의는 다음과 같다.
그러고나서, 이 회귀법은 다음 알고리즘을 사용한다.
Polynomial Fit with Order 2 e.3. Exponential Regression 지수 함수 형태 회귀는 회귀의 한 종류로서 변수 x와 y사이의 관계를 x에 대한 지수 함수 y=ae^(bx) + c로 모델링을 한다. 이 회귀법은 최소 3개의 점을 필요로 한다. 그림 Exponential Fit for x being between 0 and 0.3 참고
이 회귀법은 최소 제곱을 결정하는 Levenberg-Marquardt 알고리즘을 사용한다. 이 알고리즘의 기본 개념은 다음 논문들에 나와있다.
K. Levenberg. “A Method for the Solution of Certain Non-Linear Problems in Least Squares”. The Quarterly of Applied Mathematics, 2: 164-168 (1944).
D.W. Marquardt. “An algorithm for least-squares estimation of nonlinear parameters,” Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, 11(2):431-441, 1963.
 Exponential Fit for x being between 0 and 0.3
사용법은 다음과 같다. 우측 하단에 다음 윈도우가 생긴다.
회귀 분석법 윈도우
Mode에는 Linear, Polynomial, 그리고 Exponential이 있다.
Linear와 Exponential모드에는 Offset 기능이 있다. Offset 버튼으로 기능을 끄고 켤 수 있다. Linear모드에서 Offset 기능을 끄면 y=ax 함수로 회귀하고, 켜면 y = ax+ b 함수로 회귀한다. Exponential모드에서 Offset기능을 끄면 y= ae^(bx) 함수로 회귀하고, 켜면 y= ae^(bx) + c 함수로 회귀한다.
Polynomial 회귀 차수
Polynomial모드에는 Order로 회귀 될 함수의 차수를 정할 수 있다. 즉, Order가 n이면,
함수로 회귀한다.
Method에는 Range와 Points가 있다.
Range 와 Points Method
Range인 경우에는, 그래프에 두 개의 선이 생기는데, 두 선을 움직여 회귀 범위를 지정한다. 즉, 두 선 사이의 모든 점을 이용해 회귀한다. 그림 Range Method – 3차 Polynomial 회귀 결과 참고. 그리고 우측 하단의 Regression Calculate 버튼을 누르면 그래프에 회귀 그래프가 그려지고, 우측 하단에 Result가 나온다. 그래프는 두 개의 선 사이에서만 그려진다. Range Method – 3차 Polynomial 회귀 결과
Points인 경우에는, 그래프에 한 개의 Short Cross 커서가 생기는데, 그래프에서 점을 선택하면, 우측 하단 표에 그 점이 추가된다. Delete All Points 버튼을 이용해 선택된 모든 점들을 다 지울 수 있고, Delete Point버튼을 이용해 표에서 선택된 한 점을 지울 수도 있다.
Points Method의 표
그리고 우측 하단의 Regression Calculate 버튼을 누르면 그래프에 회귀 그래프가 그려지고, 우측 하단에 Result가 나온다. 그래프는 선택된 점 중에서 x값이 최소인 점과 최대인 점 사이에서 그려진다.
Points Method - Offset 켜진 Linear 회귀 결과
f. Filter 사용자는 필터를 이용해 데이터의 형태를 부드럽게 만들 수 있다.
f.1. Savitzky-Golay Filtering 사비츠키-골레이 필터를 사용할 때, 스파이크 제거 버튼을 켜면, 사용자가 필터링 전에 먼저 스파이크를 제거할 수 있다. 이 버튼이 켜져 있으면, 사용자는 스파이크에 대한 거부 백분율을 입력해야 한다. 스파이크 제거는 다음과 같이 이루어진다.
그리고 나서, 사비츠키-골레이 필터가 데이터에 적용된다. 그림 좌측 원래 그래프/우측 Savitzky-Golay 필터 결과 참고. 사비츠키-골레이 필터에 대한 기본 개념은 다음 논문에 나와있다.
A., Gorry (1990). "General least-squares smoothing and differentiation by the convolution (Savitzky–Golay) method". Analytical Chemistry. 62 (6): 570–3. doi:10.1021/ac00205a007
좌측 원래 그래프/우측 Savitzky-Golay 필터 결과
f.2. Fourier Transform Filtering 푸리에 변환 필터는 시간 영역 입력 데이터에 적용된다. 사용자는 푸리에 변환을 적용하기 전에 입력 데이터에 윈도우 함수를 먼저 적용할 수 있다. 푸리에 변환과 윈도우 함수에 대한 더 자세한 내용은 분석법Fourier Transform설명 부분에서 확인할 수 있다.
푸리에 변환이 적용된 후에 데이터를 부드럽게 만들어주는 low-pass, high-pass, band-pass, 또는 band-stop필터를 사용할 수 있다. 네 종류 필터의 차이점은 다음 문단에 기술되어 있다.
Low-pass 필터는 사용자가 선택한 차단주파수보다 낮은 주파수의 신호들은 통과시키고, 그보다 높은 주파수의 신호들은 제거하는 필터이다. High-pass 필터는 사용자가 선택한 차단주파수보다 높은 주파수의 신호들은 통과시키고, 그보다 낮은 주파수의 신호들은 제거하는 필터이다. Band-pass 필터는 특정 범위 안에 있는 주파수의 신호는 통과시키고, 그 외 주파수의 신호들은 제거하는 필터이다. Band-stop 필터는 특정 범위 안에 있는 주파수의 신호는 제거하고, 그 외 주파수의 신호들만 통과시키는 필터이다.
마지막으로, 역 푸리에 변환을 사용해서 필터링 된 데이터가 구해진다. 그림 High-pass Filter with cutoff frequency 1 Hz 참고.
High-pass Filter with cutoff frequency 1 Hz
사용법은 다음과 같다. 우측 상단에서 Filter를 더블 클릭하면 우측 하단에 윈도우 하나가 생긴다.
Mode에는 Savitzky-Golay와 FT 모드가 있다. 선택된 Mode에 따라 다른 윈도우가 생긴다.
필터 분석법 윈도우 Savitzky-Golay 모드와 FT 모드
Savitzky-Golay모드창에는 Spike Rejection 버튼, Polynomial Order, Number of Side Points 입력 칸이 있다.
Savitzky-Golay 모드의 Spike Rejection 버튼
Spike Rejection버튼을 On하면, 우측에 백분율 입력 칸이 생기는데, 이 백분율이 위에 설명된 거부 백분율 P이다.
Polynomial Order와 Number of Side Points는 Savitzky-Golay 필터에 사용되는 다항 함수 차수와 좌측 우측 점 개수를 의미한다. Savitzky-Golay필터가 작동하는 조건은 (Polynomial Order) < 2 x (Number of Side Points) + 1이다. 그 후에 Filter 버튼을 클릭하면, 좌측 상단 그래프에 Filter된 그래프가 그려진다.
FT모드창에는 하단에는 좌표계가 있고, 상단에는 Filter 종류 선택 칸과 Frequency 입력 칸이 있다. 원 그래프의 x축의 단위가 시간 (time)일 때만 FT 모드가 작동한다. 원 그래프의 x축의 단위가 시간 (time)일 때, FT모드를 선택하면, 자동적으로 FT모드창 하단 좌표계에 Fourier Transform이 적용된 그래프가 그려진다. Filter종류와 Frequency를 입력하고 Filter버튼을 클릭하면, 좌측 상단 그래프에 Filter된 그래프가 그려진다.
g. Baseline Correction 베이스라인 보정법은 베이스라인을 선형, 다항, 또는 지수 함수 형태 회귀를 이용해서 찾고, 입력 데이터에서 베이스라인을 빼준다.
선형 베이스라인 보정은 다음과 같은 공식을 사용한다.
다항 베이스라인 보정은 다음과 같은 공식을 사용한다.
지수 함수 베이스라인 보정은 다음과 같은 공식을 사용한다.
사용자는 그래프의 원래의 경향성을 무시하고 순수 변화량을 알고 싶을 때 베이스라인 보정을 사용할 수 있다. 그림 Linear Baseline Correction 참고.
Linear Baseline Correction
사용법은 다음과 같다. 우측 상단에서 Baseline Correction을 더블 클릭하면 우측 하단에 윈도우 하나가 생긴다.
Baseline Correction 윈도우
Mode, Offset/Order, 그리고 Method는 Regression의 기능과 같다. 이 기능에 대한 사용법은Regression 부분 참고. Regression의 기능을 선택하고 나서, Correct Baseline 버튼을 클릭하면, 좌측 상단 그래프에 Original Graph, Fitted Line, Corrected Graph 총 세 개의 그래프가 그려진다.
Graph 체크 박스
사용자는 Graph 체크 박스를 통해 원하는 그래프만을 그려지게 할 수도 있다. 체크하면 그려지고, 체크 안 하면 지워진다.
Baseline Correction 결과 표
또한 사용자는 체크박스 하단의 표를 통해 Baseline Correction의 결과를 확인할 수 있다.
h. Interpolate
보간법은 알고 있는 이산적 데이터 범위 안에서 새로운 데이터 점을 만들어내는 추정 방법의 한 종류이다. 사용자가 특정한 x또는 y값을 가지는 모든 점들을 찾으려고 할 때 사용할 수 있는 분석법이다. 사용자는 찾는 점의 x또는 y값을 입력해야 한다. 그러면, 선형 보간법을 이용해 특정한 x또는 y값을 가지고 있는 모든 점들을 찾는다. 그림 Interpolate searching for x that has y = 1.9343 참고.
만약 사용자가 x 값을 입력해서 y 값을 찾으려고 하고, 찾는 점이 두 점 (x_1, y_1), (x_2, y_2) 사이에 존재한다고 예상된다면, 다음 공식을 사용한다.
반면에, 사용자가 y값을 입력해서 x값을 찾으려고 한다면, 다음 공식을 사용한다.
Interpolate searching for x that has y = 1.9343
우측 상단에서 Interpolate를 더블 클릭하면, 다음과 같은 윈도우가 하단에 생긴다. Interpolate 윈도우
Search 에는 X와 Y가 있다. X가 선택되면, X를 찾고, Y가 선택되면, Y를 찾는 것을 의미한다. 그 밑에 X또는 Y값 입력 칸이 있는데, X를 찾을 때는 Y값을 입력해야 하고, Y를 찾을 때는 X값을 입력해야 한다.
Interpolate 그래프 윈도우
Interpolate 할 때, 좌측 상단 그래프에 한 개의 선이 생기는 데, 이 선을 움직여서 Interpolate 점을 찾을 수도 있고, 입력 칸에 숫자를 입력해서 찾을 수도 있다. 값을 지정한 후, Interpolate Calculate 버튼을 클릭하면, 그래프에 Interpolate된 점을 지나는 선이 그려지고, Interpolate 윈도우 하단 표에 결과가 나타난다.
Interpolate 결과 표
Defined Value가 지정된 값이고 Result가 결과 값이다. 즉, X를 찾는다면, Defined Value는 입력된 Y값이고, Result는 찾아진 X값이다.
또, Overlay 버튼이 있는데, 이 버튼을 On하면, 여러 Interpolate점들을 찾을 수 있다. Overlay버튼이 Off 상태라면, 모든 것이 초기화된 후에 다른 결과가 나온다.
i. Fourier Transform (FT) 푸리에 변환은 시간 영역 함수를 주파수 영역 함수로 바꿔준다.
여기서 푸리에 변환의 입력 값과 출력 값은 복소수이다. 오일러 공식이 출력 값을 복소수로 만들어준다. 오일러 공식은 다음과 같다.
사용자는 푸리에 변환을 적용하기 전에 입력 데이터에 윈도우 함수를 먼저 적용할 수 있다. 각각의 인덱스에 대해 입력 데이터에 윈도우 함수를 곱한다. WizStudio에서 사용가능한 윈도우 함수는 다음과 같이 정의된다. Triangular Window
Hanning Window
Hamming Window
Welch Window
Blackman Window
Flat Top Window
푸리에 함수에 결과를 보면, x축은 주파수이고 y축은 진폭이다. Re(F)를 푸리에 변환의 실수 값, Im(F)을 푸리에 변환의 허수 값, N을 데이터 샘플 개수라고 하자. 진폭 A는 다음과 같이 구해진다.
T를 샘플 시간, fs를 샘플 주파수라고 하자.
그러면 주파수 범위는 [0, fs/2]이다. <좌측 푸리에 변환된 그래프/우측 푸리에 변환 결과 표> 참고.
<좌측 푸리에 변환된 그래프/우측 푸리에 변환 결과 표>
우측 상단에서 Fourier Transform (FT)을 더블 클릭하면 하단에 Fourier Transform 윈도우가 생긴다.
Fourier Transform 윈도우
Windowing을 선택한 후, Fourier Transform 버튼을 클릭하면, 좌측 상단 그래프에 푸리에 변환된 그래프가 그려지고, Fourier Transform 윈도우 하단 표에 결과가 나타난다. 표는 Frequency에 따른 Amplitude를 보여준다.
Fourier Transform 결과 표
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